Rectangular Scott-type Permanents

— Let x1, x2, . . . , xn be the zeroes of a polynomial P (x) of degree n and y1, y2, . . . , ym be the zeroes of another polynomial Q(y) of degree m. Our object of study is the permanent per(1/(xi − yj))1≤i≤n,1≤j≤m, here named “Scott-type” permanent, the case of P (x) = x − 1 and Q(y) = y + 1 having been considered by R. F. Scott. We present an efficient approach to determining explicit evaluations of Scott-type permanents, based on generalizations of classical theorems by Cauchy and Borchardt, and of a recent theorem by Lascoux. This continues and extends the work initiated by the first author (“Généralisation de l’identité de Scott sur les permanents,” to appear in Linear Algebra Appl.). Our approach enables us to provide numerous closed form evaluations of Scott-type permanents for special choices of the polynomials P (x) and Q(y), including generalizations of all the results from the above mentioned paper and of Scott’s permanent itself. For example, we prove that if P (x) = x − 1 and Q(y) = y + y + 1 then the corresponding Scott-type permanent is equal to (−1)n!. Résumé. — Soient x1, x2, . . . , xn les zéros d’un polynôme P (x) de degré n et y1, y2, . . . , ym les zéros d’un autre polynôme Q(y) de degré m. Notre objet d’étude est le permanent per(1/(xi − yj))1≤i≤n, 1≤j≤m, appelé ici permanent de type Scott. Le cas de P (x) = x − 1 et Q(y) = y + 1 a été considéré par R. F. Scott. Nous présentons une approche efficace pour déterminer les évaluations explicites des permanents de type Scott, basée sur des généralisations des théorèmes classiques de Cauchy et Borchardt, et d’un théorème récent de Lascoux. La présente étude prolonge le travail du premier auteur (“Généralisation de l’identité de Scott sur les permanents,” à apparâıtre dans Linear Algebra Appl.). Notre approche nous permet de fournir de nombreuses évaluations explicites des permanents de type Scott pour des choix spéciaux des polynômes P (x) et Q(y), y compris des généalisations de tous les résultats de l’article mentionné ci-dessus et du permanent de Scott lui-même. Par exemple, nous prouvons que si P (x) = x − 1 et Q(y) = y + y + 1 alors le permanent correspondant de type Scott est égal à (−1)n!.